Question

已知函數(shù)f(x)=

3x+1

3x+1-1

 與 g(x)=

3x

x+1

．
（1）證明：對(duì)?x∈[1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立；
（2）n∈N^*時(shí)，證明：

1

3+1

+

2

32-1

+

3

33+1

+…+

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）確定f（x）、g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得f（x）-g（x）在[1，+∞）是減函數(shù)，從而可得結(jié)論；
（2）n為奇數(shù)時(shí)，證明

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

n

3n

+

n+1

3n+1

成立，利用錯(cuò)位相減法可證結(jié)論；n為偶數(shù)時(shí)，利用放縮法可得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵f(x)=

3x+1

3x+1-1

，外函數(shù)y=

t+1

3t-1

是減函數(shù)，內(nèi)函數(shù)t=3^x是增函數(shù)
∴f（x）在R上遞減
∵g(x)=

3x

x+1

在[1，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）-g（x）在[1，+∞）是減函數(shù)
∴f（x）-g（x）≤f（1）-g（1）=-1＜0
（2）

n

3n+1

+

n+1

3n+1-1

＜

n

3n

+

n+1

3n+1

?

n

3n+1

-

n

3n

＜

n+1

3n+1

-

n+1

3n+1-1

?

-n

3n+1

＜

-(n+1)

3(3n+1-1)

?

3n+1

3n+1-1

＜

3n

n+1

已證
∴

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

n

3n

+

n+1

3n+1

（n為奇數(shù)時(shí)）
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

1

3+1

+

2

32-1

+…+

n

3n+1

+

n+1

3n+1-1

＜(

1

3

+

2

32

)+…+(

n

3n

+

n+1

3n+1

)
由錯(cuò)位相減法可得：

1

3

+

2

32

+…+

n+1

3n+1

=

3

4

-

1

4 • 3n

-

n+1

2 • 3n+1

＜

3

4

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所求

1

3+1

+

2

32-1

+…+

n

3n-1

+

n+1

3n+1+1

＜

1

3+1

+…+

n+1

3n+1+1

+

n+2

3n+2-1

＜

3

4

綜上，原不等式成立，即

1

3+1

+

2

32-1

+

3

33+1

+…+

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．