Question

在半徑為15的球內(nèi)有一個(gè)底面邊長為的內(nèi)接正三棱錐，則此正三棱錐的體積為________．

Answer 1

或
分析：因?yàn)樵诎霃綖?5的球內(nèi)有一個(gè)底面邊長為的內(nèi)接正三棱錐，故此三棱錐的高未定，根據(jù)球體的對(duì)稱性可判斷符合條件的正三棱錐有兩個(gè)，分別考慮球心在三棱錐的高上還是在高外，求得三棱錐的高即可利用三棱錐體積公式計(jì)算結(jié)果
解答：如圖設(shè)球的球心為O，內(nèi)接正三棱錐為E-BCD，
則三角形BCD為正三角形，邊長BC=，外接圓半徑AC==12
球的半徑OC=OE=15
（1）若E、A分別在球心O的兩側(cè)（如圖1），則在Rt△OAC中，OA===9
∴正三棱錐為E-BCD的高EA=OE+OA=15+9=24
∴正三棱錐為E-BCD的體積
=
（2）若E、A分別在球心O的同側(cè)（如圖2），則
在Rt△OAC中，OA===9
∴正三棱錐為E-BCD的高EA=OE-OA=15-9=6
∴正三棱錐為E-BCD的體積=
故答案為 或
點(diǎn)評(píng)：本題考查了球與三棱錐的接和切問題，球的性質(zhì)，正三棱錐的性質(zhì)及體積計(jì)算公式，空間想象能力，分類討論的思想方法