Question

已知函數(shù)在點M（-1，y₀）的切線方程為x+y+3=0．
（Ⅰ）求點M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=lnx，求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：將x=-1代入切線方程x+y+3=0得y₀=-2，∴M（-1，-2）…（2分）
（Ⅱ）解：，化簡得b-a=-4①．…（4分）
求導(dǎo)函數(shù)，則②．…（6分）
由①②解得：a=2，b=-2
∴． …（8分）
（Ⅲ）證明：要證在[1，+∞）上恒成立
即證（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立
即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．…（10分）
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
∵x≥1，∴，即h'（x）≥0．…（12分）
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．…（14分）
分析：（Ⅰ）將x=-1代入切線方程x+y+3=0可得M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）利用切點在函數(shù)圖象上，該點的切線的斜率為-1，建立方程，即可求得函數(shù)的解析式；
（Ⅲ）利用分析法證明，要證在[1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為證明x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，屬于中檔題．