Question

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求過(guò)點(diǎn)，且與相切的圓的方程；

（2）過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)， 關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）;（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）圓過(guò)可得，圓與直線相切，可得.

由，得.從而得圓的方程.

（2）聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理： ， .

表示直線的方程為，由對(duì)稱(chēng)性可令，得化簡(jiǎn)整理可得直線過(guò)定點(diǎn) .

試題解析：解法一：（1）拋物線的準(zhǔn)線的方程為： ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)所求圓的圓心，半徑為， 圓過(guò)， ，

圓與直線相切， .

由，得.

過(guò)，且與直線相切的圓的方程為.

（2）依題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，

， ， ， ，

聯(lián)立，消去得.

， .

直線的方程為，

令，得 .

直線過(guò)定點(diǎn) ,

解法二：（1）同解法一.

（2）直線過(guò)定點(diǎn).

證明：依題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，

， ， ， ，

聯(lián)立，消去得，

， .

，

.

，即， 三點(diǎn)共線， 直線過(guò)定點(diǎn).

解法三：（1）同解法一.

（2）設(shè)直線的方程： ， ， ，則.

由得， .

， .

， 直線的方程為.

.

直線過(guò)定點(diǎn).

點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類(lèi)似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).