已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=2log2an+1,記
(n∈N*),求證:
【答案】分析:(1)將點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)f(x)=m•2x+t,確定出f(x)=2x-1,得出Sn=2n-1,根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an=求an
(2)由(1)可知bn=2log2an+1=2(n-1)+1=2n-1,∴==,裂項(xiàng)后求出,易證不等式成立.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)
解之得∴f(x)=2x-1
∵函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過(guò)C(n,Sn)∴Sn=2n-1(n∈N*
∴當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=1
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1∴an=2n-1
(2)由(1)可知bn=2log2an+1=2(n-1)+1=2n-1,則
=
=…(8分)
=
=
=(n∈N*)…(
在n∈N*上單調(diào)遞增
∴當(dāng)n=1時(shí)=

綜上可得…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題是函數(shù)與不等式、數(shù)列的綜合題,考查待定系數(shù)法、數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)法求和,數(shù)列的函數(shù)性質(zhì),以及不等式的證明.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱(chēng).
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=
3
,b+c=3,當(dāng)ω最大時(shí),f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評(píng)分)
(一):在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線(xiàn)θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當(dāng)不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時(shí),實(shí)數(shù)m的值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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