Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A，值域為B，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列函數(shù)x=g（t）是不是函數(shù)f（x）的一個等值域變換？說明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t²-2t+3，t∈R；
②f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）設(shè)函數(shù)，g（t）=at²+2t+1，若函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個等值域變換，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①函數(shù)f（x）=2x+1，x∈R的值域為R，
∵x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
∴y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+1≥5，
所以，x=g（t）不是f（x）的一個等值域變換
②，
即f（x）的值域為，
當(dāng)t∈R時，，
即y=f（g（t））的值域仍為，
所以x=g（t）是f（x）的一個等值域變換；
（2）由x²-x+1＞0解得x∈R
函數(shù)
即f（x）的值域為
①若a＞0，函數(shù)g（t）=at²+2t+1有最小值，
只需，即0＜a≤2，
就可使函數(shù)y=f（g（t））的值域仍為
②若a=0，函數(shù)g（t）=at²+2t+1=2t+17的值域為R，
函數(shù)y=f（g（t））的值域仍為
③若a＜0，函數(shù)g（t）=at²+2t+110有最大值
只需，即a＜0，
就可使函數(shù)y=f（g（t））的值域仍為
綜上可知：實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．
分析：（1）已知等值域變換的定義，分別求出f（x）和g（x）的值域和定義域，對①②進(jìn)行一一驗證，從而求解；
（2）已知函數(shù)，g（t）=at²+2t+1，求出其值域和定義域，分三種情況進(jìn)行討論：①a＞0；②a=0；③a＜0，從而求解；
點評：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查新定義，解題的關(guān)鍵的是能夠讀懂新定義，利用了分類討論的思想，是一道綜合題；