Question

在△ABC中，已知P為線段AB上的一點，

BP

=3

PA

．
（1）若

OP

=x

OA

+y

OB

，求x，y的值；
（2）已知|

OA

|=4，|

OB

|=2，且

OP

•

AB

=-9，求

OA

與

OB

的夾角．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）據(jù)相等向量的定義及向量的運算法則：三角形法則求出

OP

，結(jié)合已知條件以及平面向量基本定理求出x，y的值．
（2）由條件利用向量數(shù)量積的定義求得cosθ的值，可得

OA

與

OB

的夾角θ的值．

解答： 解：（1）∵

BP

=3

PA

，由題意可得

OP

=

OB

+

BP

=

OB

+

3

4

BA

=

OB

+

3

4

（

OA

-

OB

）=

3

4

OA

+

1

4

OB

，
再根據(jù)

OP

=x

OA

+y

OB

，∴x=

3

4

，y=

1

4

．
（2）∵已知|

OA

|=4，|

OB

|=2，且

OP

•

AB

=-9=4×2×cosθ （θ為

OA

與

OB

的夾角），∴cosθ=

1

2

，
 可得θ=60°，即求

OA

與

OB

的夾角為60°．

點評：本題考查向量的加法、減法的運算法則，兩個向量的數(shù)量積的定義及其運算律，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．