Question

如圖，△ABC中，∠B=

π

2

，A（-2，0）、B（0，-2

2

），頂點C在x軸上，設圓M是△ABC的外接圓：
（1）求圓M的標準方程；
（2）若點O為坐標原點，DE是圓M的任意一條直徑，試問

OD

•

OE

是否為定值？若是，求出定值并證明你的結論；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓

分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理求得AC的長，則M點坐標可求，圓M的方程可求；
（2）設出過M的直線方程，和圓的方程聯(lián)立后化為關于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關系得到D、E兩點的縱坐標的和與積，代入數(shù)量積公式求得

OD

•

OE

為定值．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵∠B=

π

2

，OA=2，OB=2

2

，
∴AB=

22+(2 2 )2

=2

3

，
又AB²=AO•AC，
∴AC=

AB2

AO

=

12

2

=6，
∴M（1，0），圓M的半徑為3，
則圓M：（x-1）²+y²=9；
（2）設過M的直線為：x=my+1與圓（x-1）²+y²=9的兩個交點為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
聯(lián)立

x=my+1 (x-1)2+y2=1

，
得：（m²+1）y²=9．
∴y1+y2=0，y1y2=

-9

m2+1

，
則

OD

•

OE

=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-8，
當過M的直線垂直于y軸時，經(jīng)檢驗滿足．
∴

OD

•

OE

=-8，為定值．

點評：本題考查了圓的方程的求法，訓練了平面向量數(shù)量積的坐標運算，是中檔題．