Question

6．設(shè)f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（3-x），0≤x≤3\\（x-3）（a-x），x＞3\end{array}$．
（1）當(dāng)a=5時(shí)，判斷f（x）=1有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上最大值為g（a），試求g（a）的表達(dá)式；
（3）若方程f（x）=m恰有四個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且它們依次構(gòu)成等差數(shù)列，求a的取值范圍及m的值．

Answer 1

分析 （1）將a=5代入f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（3-x），0≤x≤3\\（x-3）（a-x），x＞3\end{array}$，可求出f（x）=1的正根，進(jìn)而根據(jù)f（x）是偶函數(shù)得到對(duì)應(yīng)的負(fù)根；
（2）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間[-5，5]上的最大值即為它在區(qū)間[0，5]上的最大值，分類(lèi)討論，即可求得結(jié)論；
（3）設(shè)這四個(gè)根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄，則當(dāng)方程f（x）=m在[-3，3]上有四個(gè)實(shí)根時(shí)，由x₄-x₃=2x₃，且x₄+x₃=3，得x₃=$\frac{3}{4}$，x₄=$\frac{9}{4}$，從而m=f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{27}{16}$，且要求f（x）＜$\frac{27}{16}$對(duì)x∈（3，+∞）恒成立，由此可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，解f（x）=x（3-x）=1得：x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，或x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$…（2分）
當(dāng)x＞3，a=5時(shí)，f（x）=（x-3）（5-x）=1得：x=4，
故x≥0時(shí)，f（x）=1有三個(gè)正根，
又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴x≤0時(shí)，f（x）=1有三個(gè)負(fù)根，
綜上f（x）=1有六個(gè)根，（4分）
（2）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以它在區(qū)間[-5，5]上的最大值即為它在區(qū)間[0，5]上的最大值，
①當(dāng)a≤3時(shí)，f（x）在[0，$\frac{3}{2}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{3}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（a）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$…（5分）
②當(dāng)3＜a≤7時(shí)，f（x）在[0，$\frac{3}{2}$]與[3，$\frac{3+a}{2}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{3}{2}$，3]與[$\frac{3+a}{2}$，5]上單調(diào)遞減，
所以此時(shí)只需比較f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$與f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$的大小．
1°當(dāng)3＜a≤6時(shí)，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$≥f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$，所以g（a）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$…（6分）
2°當(dāng)6＜a≤7時(shí)，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$＜f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$，所以g（a）=f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$…（7分）
3°當(dāng)a＞7時(shí)，f（x）在[0，$\frac{3}{2}$]與[3，5]上單調(diào)遞增，在[$\frac{3}{2}$，3]上單調(diào)遞減，且f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5）…（8分）
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}，a≤6\\ \frac{（a-3）^{2}}{4}，6＜a≤7\\ 2（a-5），a＞7\end{array}\right.$ …（9分）
（3）設(shè)這四個(gè)根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄．
當(dāng)方程f（x）=m在[-3，3]上有四個(gè)實(shí)根時(shí)，由x₄-x₃=2x₃，且x₄+x₃=3，得x₃=$\frac{3}{4}$，x₄=$\frac{9}{4}$從而m=f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{27}{16}$，且要求f（x）＜$\frac{27}{16}$對(duì)x∈（3，+∞）恒成立…（10分）
1°當(dāng)a≤3時(shí)，f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）＜f（3）=0＜$\frac{27}{16}$對(duì)x∈（3，+∞）恒成立，即a≤3適合題意…（11分）
2°當(dāng)a＞3時(shí)，欲f（x）＜$\frac{27}{16}$對(duì)x∈（3，+∞）恒成立，只要f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$＜$\frac{27}{16}$，解得a＜3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，故此時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足3＜a＜3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…（12分）
綜上所述，a與m滿(mǎn)足的條件為m=$\frac{27}{16}$且a＜3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，屬于中檔題．