Question

若a＞0，b＞0，且點（a，b）在過點（1，-1）和（2，-3）的直線上，則S=2

ab

-4a²-b²的最大值為（　�。�

• A．

  2 -1

  2

• B．

  2

  -1
• C．

  2 +1

  2

• D．

  2

  +1

Answer 1

分析：由點（a，b）在過點（1，-1）和（2，-3）的直線上得2a+b=1，所以S=2

ab

-4a²-b²=4ab+2

ab

-1，再令

ab

=t＞0，則S化為關于t的二次函數(shù)形式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合t的取值范圍可得S的最大值．

解答：解：∵點（a，b）在過點（1，-1）和（2，-3）的直線上
∴

b+1

a-1

=

-3+1

2-1

即2a+b=1 
∴S=2

ab

-4a²-b²=4ab+2

ab

-（2a+b）²=4ab+2

ab

-1
令

ab

=t，則0＜t≤

2

4

，
則 S=4t²+2t-1，在（0，+∞）上為增函數(shù)
故 當t=

2

4

時，S 有最大值

2 -1

2

，
故選A．

點評：本題考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題．注意利用等價轉(zhuǎn)換，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)來求這個最值問題．運用換元的思想得到 S=4t²+2t-1，是解決本題的關鍵．