Question

已知實數(shù)m為非零常數(shù)，且f（x）=（a＞0且a≠1）為奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明；
（3）當(dāng)x∈（b，a）時，函數(shù)f（x）的值域為（1，+∞），請確定實數(shù)a與b的取值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可得f（-x）+f（x）=0，進(jìn)而求出非零m的值；
（2）x₁，x₂是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個值，且x₁＜x₂，可得＞1，分當(dāng)0＜a＜1時和當(dāng)a＞1時兩種情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由函數(shù)解析式求出函數(shù)的定義域，結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)x∈（b，a）時，函數(shù)f（x）的值域為（1，+∞），可得f（a）=1且，解方程可求出a，b的值．
解答：解：（1）若函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）為奇函數(shù)
故f（-x）+f（x）=+===0
即，即（m-1）²=1
∵m≠0，
∴m=2
（2）由（1）得f（x）==，
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)
當(dāng)a＞1時，函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，理由如下：
令x₁，x₂是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0，＞1
則f（x₁）-f（x₂）=-==
當(dāng)0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)
當(dāng)a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)
（3）由（1）得f（x）=的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
當(dāng)0＜a＜1時，（b，a）?（-∞，-1）∪（1，+∞），此時函數(shù)的解析式無意義；
當(dāng)a＞1，若函數(shù)的解析式有意義，則1≤b＜a，
由（2）可得，此時函數(shù)在（b，a）上為減函數(shù)
若函數(shù)f（x）的值域為（1，+∞）
則f（a）=1，
即=1
即
解得a=1+
且
解得b=1
綜上，a=1+，b=1
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，熟練掌握函數(shù)奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵．