Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+8x，g（x）=6lnx+m．
（I）求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值h（t）；
（II）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
當(dāng)t+1＜4，即t＜3時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
當(dāng)t≤4≤t+1，即3≤t≤4時(shí)，h（t）=f（4）=16；
當(dāng)t＞4時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，
h（t）=f（t）=-t²+8t．
綜上，h(t)=

-t2+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 -t2+8t，t＞4

（II）函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
即函數(shù)m（x）=g（x）-f（x）的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
∵m（x）=x²-8x+6lnx+m，
∴?′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，m'（x）＜0，m（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x=1，或x=3時(shí)，m'（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=m-7，m（x）_最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，m（x）＜0，當(dāng)x充分大時(shí)，m（x）＞0．
∴要使m（x）的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須

?(x)最大值=m-7＞0 ?(x)最小值=m+6ln3-15＜0

即7＜m＜15-6ln3．
∴存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為（7，15-6ln3）．