Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a＞0),PA⊥平面ABCD.

(1)問BC邊上是否存在點Q，使PQ⊥QD?并說明理由；

(2)若PA=1，且BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，求這時二面角Q-PD-A的大小.

Answer 1

解:(1)連結(jié)AQ，

∵PA⊥平面ABCD，故PQ在平面ABCD上的射影為AQ.

PQ⊥QDAQ⊥QD.

∴當a＞2時，BC邊上有兩個點，即以AD為直徑的圓與BC的兩交點滿足PQ⊥QD；

當a=2時，BC邊上的中點滿足PQ⊥QD；

當0＜a＜2時，BC邊上不存在點Q使PQ⊥QD.

(2)由(1)及已知得BC=2，Q是BC的中點，取AD的中點G，作GH⊥PD于H，連結(jié)QH、GQ.

由PA⊥面ABCD，則面PAD⊥面ABCD，

故QG⊥面PAD，從而QH⊥PD.

∴∠QHG為二面角Q-PD-A的平面角.

在Rt△QGH中，HG=,

又GQ=1，∴tan∠QHG=.

∴二面角Q-PD-A的大小為arctan.