Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（

3

2

+x）=f（

3

2

-x），當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=x+sinx，則f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：由已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（

3

2

+x）=f（

3

2

-x），我們易得f（x）是周期函數(shù)，且周期為6，則由當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=x+sinx，我們不難得到一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)周期性解決問題．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)
且當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=x+sinx
∴當(dāng)-3≤x≤3時(shí)，f（x）=x+sinx
又∵f（

3

2

+x）=f（

3

2

-x），
故函數(shù)f（x）是T=6的周期函數(shù)
則f（2010）=f（0）=0
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于直線x=b對(duì)稱，則函數(shù)一定為周期函數(shù)且T=4|a-b|．