Question

如圖，彎曲的河流是近似的拋物線C，公路l恰好是C的準(zhǔn)線，C上的點(diǎn)O到l的距離最近，且為0.4千米，城鎮(zhèn)P位于點(diǎn)O的北偏東30°處，|OP|=10千米，現(xiàn)要在河岸邊的某處修建一座碼頭，并修建兩條公路，一條連接城鎮(zhèn)，一條垂直連接公路l，以便建立水陸交通網(wǎng)．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線C的方程；
（2）為了降低修路成本，必須使修建的兩條公路總長最小，請給出修建方案（作出圖形，在圖中標(biāo)出此時(shí)碼頭Q的位置），并求公路總長的最小值（精確到0.001千米）

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)O作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，以O(shè)A所在直線為x軸，OA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系…（2分）
由題意得，…（4分）
所以，拋物線C：y²=1.6x…（6分）
（2）設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F由題意得，…（8分）
根據(jù)拋物線的定義知，公路總長=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…（12分）
當(dāng)Q為線段PF與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，公路總長最小，
最小值為9.806千米…（16分）
分析：先建立坐標(biāo)系，求出拋物線方程，利用拋物線的定義知，公路總長QF+QP≥PF，從而使問題得解．
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及運(yùn)用，屬于中檔題．