Question

已知曲線C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）與函數(shù)=y=lnx及函數(shù)y=e^x的圖象分別交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁²+x₂²的值為

9

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖．利用于函數(shù)=y=lnx和函數(shù)y=e^x是互為反函數(shù)，其函數(shù)=y=lnx及函數(shù)y=e^x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，曲線C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）也是關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，從而曲線C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）與函數(shù)=y=lnx及函數(shù)y=e^x的圖象的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）也關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，得出x₂=y₁．再根據(jù)A（x₁，y₁）在圓弧x²+y²=9（x≥0，y≥0）上，即可得出答案．

解答：解：畫(huà)出圖形，如圖．
由于函數(shù)=y=lnx和函數(shù)y=e^x是互為反函數(shù)，故函數(shù)=y=lnx及函數(shù)y=e^x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，從而曲線C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）與函數(shù)=y=lnx及函數(shù)y=e^x的圖象的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）也關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，
∴x₂=y₁．
又A（x₁，y₁）在圓弧x²+y²=9（x≥0，y≥0）上，
x₁²+y₁²=9，即x₁²+x₂²=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用、反函數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．