Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂為橢圓的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A₁B₂與直線B₁F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：解法一：可先直線A₁B₂的方程為，直線B₁F的方程為，聯(lián)立兩直線的方程，解出點T的坐標(biāo)，進而表示出中點M的坐標(biāo)，代入橢圓的方程即可解出離心率的值；
解法二：對橢圓進行壓縮變換，，，橢圓變?yōu)閱挝粓A：x^'2+y^'2=1，F(xiàn)'（，0）．根據(jù)題設(shè)條件求出直線B₁T方程，直線直線B₁T與x軸交點的橫坐標(biāo)就是該橢圓的離心率．
解答：解法一：由題意，可得直線A₁B₂的方程為，直線B₁F的方程為
兩直線聯(lián)立則點T（），則M（），由于此點在橢圓上，故有
，整理得3a²-10ac-c²=0
即e²+10e-3=0，解得
故答案為
解法二：對橢圓進行壓縮變換，，，
橢圓變?yōu)閱挝粓A：x^'2+y^'2=1，F(xiàn)'（，0）．
延長TO交圓O于N
易知直線A₁B₁斜率為1，TM=MO=ON=1，，
設(shè)T（x′，y′），則，y′=x′+1，
由割線定理：TB₂×TA₁=TM×TN
，
（負(fù)值舍去）

易知：B₁（0，-1）
直線B₁T方程：
令y′=0
，即F橫坐標(biāo)
即原橢圓的離心率e=．
故答案：．
點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細解答．