Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)，若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．1+a+b=0
C．a(chǎn)²-4b=0
D．x₁+x₃=4

Answer 1

【答案】分析：關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個(gè)解，則必然含有x=1這樣一個(gè)解，另外2個(gè)則在分段函數(shù)的另一段里面，剛好它是個(gè)絕對(duì)值函數(shù)，可以提供2個(gè)不同自變量時(shí)為同一值．既然含有x=1的解，此時(shí)f（1）=1，我們知道另外2個(gè)值也是1的肯定也能滿足方程，所以關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解時(shí)，f（x）=1，從而可得結(jié)論．
解答：解：分段函數(shù)的圖象如圖所示
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．
∵時(shí)，x=1或2
∴關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解時(shí)，
解分別是1，2，3，且x₁=1，x₂=2，x₃=3，
∴，x₁+x₃=4，
∵f（x）=1，∴1+a+b=0
∵a²-4b=a²+4a+4=（a+2）²≥0
∴C不正確
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．