Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=3，BC=2，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|

PA

+3

PB

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意，可利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（3，0），B（2，a），C（0，a），D（0，0），設(shè)P（0，b）（0≤b≤a），用坐標(biāo)把

PA

與

PB

表示出來(lái)，然后利用模長(zhǎng)公式將|

PA

+3

PB

|表示出來(lái)，再研究關(guān)于a，b的式子如何求最小值的問(wèn)題，化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)結(jié)果可利用完全平方式求最小值，問(wèn)題獲解．

解答： 解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)CD=a，DP=b，則0≤b≤a．

則A（3，0），B（2，a），C（0，a），D（0，0）
設(shè)P（0，b）（0≤b≤a），
則

PA

+3

PB

=(3，-b)+3(2，a-b)=(9，3a-4b)，
所以|

PA

+3

PB

|=

81+(3a-4b)2

≥9，當(dāng)且僅當(dāng)3a=4b，即P位于最接近于C的PC的四等分點(diǎn)時(shí)，|

PA

+3

PB

|最大．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用向量法解決幾何問(wèn)題的思想方法，一般來(lái)說(shuō)先建系，給出所求的、已知的點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)把已知條件、所求表示出來(lái)后，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)求解．