已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是實數(shù).

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數(shù),在區(qū)間(-1,3)上是減函數(shù),并且f(0)=-7,(0)=-18,求函數(shù)f(x)的表達式;

(Ⅱ)若a,b,c滿足b2-3ac<0,求證:函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).

答案:
解析:

  解(1)

  由

  又由于在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間(-1,3)上是減函數(shù),所以-1和3必是的兩個根.

  從而

  又根據(jù)

  (2)(x)=3ax2+2bx+c.由條件b2-3ac<0可知a≠0,c≠0.

  因為為二次三項式,并且,

  所以,當恒成立,此時函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù);

  當恒成立,此時函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).

  因此,對任意給定的實數(shù)a,函數(shù)總是單調(diào)函數(shù).


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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0
,
②f(2011)的值為
-1
-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時f(x)=
1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當f(-3)=-2時,f(2013)的值為(  )
A、-2B、2C、4D、-4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,則f(2013)=( 。
A、0B、2013C、3D、-2013

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