Question

6．已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x，若對任意的x∈[1，3]，不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-3．+∞）．

Answer 1

分析 通過判定函數(shù)f（x）=2^x-2^-x）=2^x-$（\frac{1}{2}）$^x在R上單調(diào)遞增、奇函數(shù)，脫掉”f“，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分離參數(shù)求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2^x-2^-x）=2^x-$（\frac{1}{2}）$^x在R上單調(diào)遞增，又∵f（-x）=-（2^x-2^-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)，若對任意的x∈[1，3]，不等式f（x²+tx）+f（4-x）＞0恒成立，⇒對任意的x∈[1，3]，不等式f（x²+tx）＞f（-4+x）恒成立，
⇒對任意的x∈[1，3]，x²+（t-1）x+4＞0⇒（t-1）x＞-x²-4⇒t-1＞-（x+$\frac{4}{x}）$，
∵$g（x）=x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x•\frac{4}{x}}=4…（x=2時取等號）$，∴t-1＞-4，即t＞-3．
故答案為：（-3．+∞）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)，恒成立問題，分離參數(shù)法，屬于中檔題．