Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且短軸長(zhǎng)為2

3

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若直線l過(guò)F₂，且傾斜角為45°，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求△ABF₁的周長(zhǎng)與面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由短軸長(zhǎng)與離心率，結(jié)合a²=b²+c²，求出b、a，即得標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出直線AB的方程，與橢圓的方程組成方程組，利用韋達(dá)定理得y1+y2=-

6

7

，y1•y2=-

9

7

，計(jì)算出|y₁-y₂|，求出面積．

解答： 解：（1）∵離心率為

1

2

，且短軸長(zhǎng)為2

3

，
∴

c a = 1 2 b= 3 a2=b2+c2

，
解得：c2=

3

2

，a2=6，b2=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)△ABF₁的周長(zhǎng)為l，
則l=|AB|+||BF₁|+|AF₁|=|AF₂|+|BF₂|+|BF₁|+|AF₁|=4a=8，F(xiàn)₂（1，0），
又∵傾斜角為45°，
∴l(xiāng)的方程為：x-y-1=0，
∴

x-y-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，
消x得7y²+6y-9=0，
∴y1+y2=-

6

7

，y1•y2=-

9

7

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

12 2

7

，
∴設(shè)△ABF₁的面積為S，
∴S=

1

2

×2c×|y1-y2|=

12 2

7

．
∴△ABF₁的周長(zhǎng)與面積分別為8；

12 2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟練地掌握?qǐng)A錐曲線的幾何性質(zhì)，并能靈活地應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．