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△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，設M是△ABC內的一點，S△MBC=
1
2
，S△MCA=x，S△MAB=y，則
1
x
+
4
y
的最小值為
 
．
分析：根據題意求得|AC|•|AB|進而利用三角形面積公式求得△ABC的面積，然后根據S△MBC推斷M在三角形中位線上，進而求得S△MCA+S△MAB的值，即x+y的值，代入
1
x
+
4
y
中整理成基本不等式的形式，求得其最小值．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°
∴|AC|•|AB|=4，
又S△ABC=
1
2
•AC•AB•sin∠BAC=1  S△MBC=
1
2

∴M在三角形中位線上
S△MCA+S△MAB=x+y=
1
2
，即1=2（x+y） 
∴
1
x
+
4
y
=
2(x+y)
x
+
8(x+y)
y
=10+
2y
x
+
8x
y
≥10+2
2y
x
•
8x
y
=18
故答案為18．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．解題的關鍵是拼湊出基本不等式的形式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，設M是△ABC內的一點（不在邊界上），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
x
+
4
y
的最小值為（　�。�
A、9B、8C、18D、16

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于△ABC內的任何一點M，為了確定M的具體位置f（M），采用如下記法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，現有△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
且∠A=30°，設M是△ABC內的一點（不在邊界上），當f(M)=(x，y，
1
2
)，那么
1
x
+
4
y
的最小值為
18
18
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖（一）等腰三角形ABC滿足AB=AC=10，BC=12，D、E、F為AB、BC、AC的中點，現將△ADF、△BDE、△CEF分別沿DF、DE、EF折起使得A、B、C重合為一點P，形成一個三棱錐P-DEF如圖（二），則三棱錐P-DEF的體積為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

△ABC滿足
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，設M是△ABC內的一點（不在邊界上），定義f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別表示△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，
1
2
），則xy的最大值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，△ABC滿足
AB
=(-
3
sinθ，sinθ)，
AC
=(cosθ，sinθ)，
（Ⅰ）若BC邊長等于1，求θ的值（只需寫出（0，2π）內的θ值）；
（Ⅱ）若θ恰好等于內角A，求此時內角A的大小．

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