Question

已知，，且α，β∈（0，π）．
（Ⅰ）求sinβ，cosβ的值；
（Ⅱ）求sinα．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=，且α，β∈（0，π），sin²β+cos²β=1．
∴sinβ=，cosβ=．
（Ⅱ） 由（1）知β∈（0，），且α+β∈（0，），
由 可得cos（α+β）= 或-．
∴當(dāng)cos（α+β）= 時(shí)，sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=，不合題意舍去．
當(dāng)cos（α+β）=- 時(shí)，sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=．
綜上，sinα=．
分析：（Ⅰ）由=，且α，β∈（0，π），sin²β+cos²β=1，解方程組求得sinβ，cosβ的值．
（Ⅱ）由可得cos（α+β）= 或-，根據(jù)sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
求出sinα的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，注意角的范圍及角的變換，這是解題的關(guān)鍵．