Question

設(shè)圓Q過點(diǎn)P（0，2），且在x軸上截得的弦RG的長為4．
（1）求圓心Q的軌跡E的方程；
（2）過點(diǎn)F（0，1），作軌跡E的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N，試判斷直線MN是否過定點(diǎn)？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）借助于圖象把已知條件轉(zhuǎn)化為|QR|²=|QH|²+|RH|²，就可求出圓心Q的軌跡E的方程；
（2）先利用條件求出AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)與直線AB的斜率之間的關(guān)系式，以及CD的中點(diǎn)N與直線CD的斜率之間的關(guān)系式；再求出直線MN的方程，整理可以得到直線MN所過定點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)圓心Q的坐標(biāo)為（x、y），如圖過圓心Q作QH⊥x軸于H，
則H為RG的中點(diǎn)，在Rt△RHQ中，|QR|²=|QH|²+|RH|²
∵|QR|=|QP|，|RH|=2，
∴x²+（y-2）²=y²+4
即x²=4y，所以軌跡E的方程為x²=4y．（5分）

（2）設(shè)A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B），M（x_m，y_m）、N（x_N，y_N）
直線AB的方程為y=kx+1（k≠0），聯(lián)立x²=4y有：x²-4kx-4=0
∴xM=

xA+xB

2

=2k，y_M=kx_M+1=2k²+1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，2k²+1）．（7分）
同理可得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-

2

k

，

2

k2

+1)．
直線MN的斜率為KMN=

yM-yN

xM-xN

=

k2- 1 k2

k+ 1 k

=

k2-1

k

，
其方程為y-2k2-1=

k2-1

k

(x-2k)，整理得k（y-3）=（k²-1）x，
不論k為何值，點(diǎn)（0，3）均滿足方程，
∴直線MN恒過定點(diǎn)（0，3）．（12分）

點(diǎn)評：本題涉及到求軌跡方程問題．在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，一般是利用條件找到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的等式，整理可得所求方程．