Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)，其中為實數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)對定義域內(nèi)的任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明： ,對于任意的正整數(shù)成立.

 

Answer 1

（1）函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；（2）；（3）略.

【解析】

試題分析：(1)由已知可得，

當(dāng)時，令得；得，

此時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是，

①當(dāng)時，令得或；令得，

此時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；

②當(dāng)時，對任意恒成立，

此時，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間；

③當(dāng)時，令得或；得，

綜上可得，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是.

（2）由于，顯然當(dāng)時，，此時對定義域內(nèi)的任意不是恒成立的；當(dāng)時，根據(jù)（1）函數(shù)在區(qū)間上的極小值（也是最小值）是，此時只要即可，解得，故實數(shù)的了取值范圍是.

（3）當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）則，當(dāng)時，此不等式可以變形為，分別令，則

所以 .

試題解析：(1)因為

當(dāng)時，令得；得

此時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是

當(dāng)時，令得或；得

此時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是

當(dāng)時，對任意恒成立，

此時，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間

當(dāng)時，令得或；得

此時，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是 . （4分）

（2）由于，顯然當(dāng)時，，此時，對定義域內(nèi)的任意不是恒成立的；當(dāng)時，根據(jù)（1）函數(shù)在區(qū)間上的極小值（也是最小值）是，此時只要即可，解得，故實數(shù)的了取值范圍是. （8分）

（3）當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）則，當(dāng)時，此不等式可以變形為，分別令，則

所以 .

考點：1.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用；2.函數(shù)最值；3.不等式證明.