Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=（x-x^-1），其中a＞0，a≠1
（1）對于函數(shù)f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數(shù)m的集合；
（2）當x∈（-∞，2）時，f（x-4）的值恒為負數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)題意，用換元法求出f（x）的解析式，進而分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將已知不等式轉(zhuǎn)化為f（1-m）＜f（m²-1），進而轉(zhuǎn)化為，解可得答案；
（2）由（1）中的單調(diào)性可將f（x-4）的值恒為負數(shù)轉(zhuǎn)化為f（2）-4≤0，解不等式即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意，令log_ax=t，則x=a^t，
所以，即
當a＞1時，因為a^x-a^-x為增函數(shù)，且＞0，所以f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
當0＜a＜1時，因為a^x-a^-x為減函數(shù)，且＜0，所以f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
綜上所述，f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
又因為f（-x）==-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．
所以f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）
由f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，可得
解得1＜m＜，即m的值的集合為{m|1＜m＜}
（2）由（1）可知，f（x）為增函數(shù)，
則要使x∈（-∞，2），f（x）-4的值恒為負數(shù)，
只要f（2）-4＜0即可，即f（2）==＜4，又a＞0
解得
又a≠1，可得符合條件的a的取值范圍是（2-，1）∪（1，2+）．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運用，是綜合題，解題時尤其注意正確求解不等式組的解集．