Question

已知數列{a_n}（n為正整數）是首項是a₁，公比為q的等比數列．
（1）求和：a₁C₂-a₂C₂¹+a₃C₂²，a₁C₃-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；
（2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比數列的通項公式求出數列的前4項，據組合數公式求出各個組合數，代入兩個代數式求出值．
（2）歸納猜測出一般結論，利用等比數列的通項公式將各項用首項和公比表示，提出公因式公比，逆用二項式定理的展開式，
化簡代數式得證．
解答：解：（1）a₁C₂-a₂C₂¹+a₃C₂²
=a₁-2a₁q+a₁q²
=a₁（1-q）²
a₁C₃-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁-3a₁q+3a₁q²-a₁q³
=a₁（1-q）³；

（2）歸納概括的結論為：
若數列{a_n}是首項為a₁，
公比為q的等比數列，
則a₁C_n-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ，
n為正整數．
證明：a₁C_n-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ
=a₁C_n-a₁qC_n¹+a₁q²C_n²-a₁q³C_n³+…+（-1）ⁿa₁qⁿC_nⁿ
=a₁[C_n-qC_n¹+q²C_n²-q³C_n³+…+（-1）ⁿqⁿC_nⁿ]
=a₁（1-q）ⁿ．
點評：本題考查等比數列的通項公式、組合數公式、二項式定理展開式的形式，要熟練掌握公式并能逆用公式．