Question

知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為e．
（1）集合M={1，2，3，4}，N={1，2}，若a∈M，b∈N，求e＞

5

2

的概率；
（2）若0＜a＜4，0＜b＜2，求e＞

5

2

的概率．

Answer 1

分析：（1）從M中任取一數(shù)為a，從N中任取一數(shù)為b，通過列舉得到共8種情況，而事件“雙曲線的離心率e＞

5

2

”對應(yīng)

b

a

＞

1

2

，符合條件的有（3，1），（4，1）兩種情況，用隨機(jī)事件的概率公式，可得所求的概率；
（2）作出aob坐標(biāo)系如圖，得事件“0＜a＜4，0＜b＜2”對應(yīng)的圖形是長為4，寬為2的長方形區(qū)域，而事件B對應(yīng)的點(diǎn)（a，b）位于矩形右下方的半個(gè)三角形，即圖中陰影部分，最后用幾何概型的公式，相除即得所求的概率．

解答：解：（1）從M任取一數(shù)為a，從N中任取一數(shù)為b，有（1，1），（1，2），
（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）共8種情況
記事件A=“雙曲線的離心率e＞

5

2

”，則1+

b2

a2

＞

5

4

，

b

a

＞

1

2

，符合條件的有（3，1），（4，1）兩種情況，
∴所求的概率為P(A)=

2

8

=

1

4

（2）集合P={(a，b)|

0＜a＜4 0＜b＜2

，P對應(yīng)的圖形是長為4，寬為2的長方形區(qū)域（如圖），其面積S₁=8，
記事件B={雙曲線的離心率e＞

5

2

}，則a＜2b，滿足條件的點(diǎn)（a，b）位于圖中陰影部分，其面積S₂=4，
∴所求的概率為P(B)=

4

8

=

1

2

點(diǎn)評：本題從兩個(gè)集合中分別取一個(gè)元素，作為雙曲線的實(shí)半軸和虛半軸，求雙曲線離心率大于

5

2

的概率，著重考查了雙曲線的離心率和隨機(jī)事件的概率等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．