設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為Sn，已知，且對一切都成立．
（1）若λ=1，求數(shù)列的通項公式；
（2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．

(1)；(2)．

解析試題分析：(1)本題已知條件是，我們要從這個式子想辦法得出與的簡單關系式，變形為，這時我們聯(lián)想到累乘法求數(shù)列通項公式的題型，因此首先由得
，又，這個式子可化簡為，這樣就變成我們熟悉的已知條件，已知解法了；(2)這種類型問題，一種方法是從特殊到一般的方法，可由成等差數(shù)列，求出，然后把代入已知等式，得，，這個等式比第(1)題難度大點，把化為，有當n≥2時，，整理，得，特別是可變形為，這樣與第(1)處理方法相同，可得，即，從而說不得是等差數(shù)列．
試題解析：（1）若λ=1，則，．
又∵，∴，       2分
∴，
化簡，得．①       4分
∴當時，．②
②-①，得，∴（）．       6分
∵當n=1時，，∴n=1時上式也成立，
∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，an=2n-1（）．       8分
（2）令n=1，得．令n=2，得．       10分
要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ=0．       11分
當λ=0時，，且．
當n≥2時，，
整理，得，，       13分
從而，
化簡，得，所以．      15分
綜上所述，（），
所以λ=0時，數(shù)列是等差數(shù)列．       16分
考點：遞推公式，累乘法，與的關系，等差數(shù)列．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：，其中.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）令，求數(shù)列的最大項.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知等比數(shù)列滿足：，公比，數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項和；
（2）設，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列和的通項公式分別為，.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構(gòu)成一個新數(shù)列記為.
(1)試寫出，，，的值，并由此歸納數(shù)列的通項公式； 
(2)證明你在（1）所猜想的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在數(shù)列中，若（，，為常數(shù)），則稱為數(shù)列．
（1）若數(shù)列是數(shù)列，，，寫出所有滿足條件的數(shù)列的前項；
（2）證明：一個等比數(shù)列為數(shù)列的充要條件是公比為或；
（3）若數(shù)列滿足，，，設數(shù)列的前項和為．是否存在
正整數(shù)，使不等式對一切都成立？若存在，求出的值；
若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設,用表示當時的函數(shù)值中整數(shù)值的個數(shù).
(1)求的表達式.
(2)設,求.
(3)設,若,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．
(1)設數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫出該數(shù)列的前6項，并求出前6項之和；
(2)在“凸數(shù)列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；
(3)設a1＝a，a2＝b，若數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2011項和S2011.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通項公式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項和.
（1）若，，求數(shù)列的通項公式；
（2）記，，且、、成等比數(shù)列，證明:.

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