Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，g（x）=﹣2xln（1+ ）﹣lnf（x）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？如果存在，求出該零點(diǎn)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）= = =

①a=0時，f（′（x）=2× ，可得x∈（﹣∞，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，

此時f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減．

②a＞0時，令f′（x）=0，x=1或x=﹣ ，可得x∈（﹣ ，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）∪（﹣∞，﹣ ），f′（x）＜0，

此時f（x）在（﹣ ，1）遞增，在（﹣ ），（1，+∞）遞減．

③a＜0時，令f′（x）=0，x=1或x=﹣ ，

0＞a＞﹣2時，﹣ ，此時f（x）在（﹣∞，1），（﹣ ）遞增，在（1，﹣ ）遞減．

a＜﹣2時，1 ，此時f（x）在（﹣∞，﹣ ），（1，+∞）遞增，在（﹣ ，1）遞減．

a=﹣2時．此時f（x）在（﹣∞，+∞）遞增．

（Ⅱ）當(dāng)a=0時，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，理由如下：

a=0時，函數(shù)g（x）=﹣2xln ﹣ln =﹣2xln（x+1）+2xlnx﹣ln ，（x＞ ）．

函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)函數(shù)G（x）=﹣2xln（x+1）+2xlnx與R（x）=ln ，（x＞ ）是否有交點(diǎn)．

一方面：由（Ⅰ）知y= 在（﹣∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，可得R（x）=ln ，（x＞ ）在（ ，1）遞增，在（1，+∞）遞減

且x→ ，R（x）→﹣∞，x→+∞，R（x）→﹣∞，R（1）=﹣2＜0

另一方面：G′（x）=2[lnx﹣ln（x+1）+ ]，G″（x）=2[ ﹣ ]＞0在（ ）恒成立．

∴G′（x）在（ ）遞增，而G′（ ）=2（﹣ln3+ ）＜0，x→+∞時，G（x）→0，∴G′（x）＜0．

∴函數(shù)G（x）在（ ）遞減，G（ ）=﹣ln3＜0．

由此可以在同一坐標(biāo)系畫出兩函數(shù)，如下：

結(jié)合圖象可得，當(dāng)a=0時，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)

【解析】（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）= ，分①a=0，②a＞0，③a＜0討論其單調(diào)性．（Ⅱ）a=0時，函數(shù)g（x）=﹣2xln ﹣ln =﹣2xln（x+1）+2xlnx﹣ln （x＞ ），函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)函數(shù)G（x）=﹣2xln（x+1）+2xlnx與R（x）=ln ，（x＞ ）是否有交點(diǎn)．分別討論兩函數(shù)的單調(diào)性，畫出圖象，結(jié)合圖象求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．