Question

已知數(shù)列a_n滿足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（1）猜想a_n的通項公式，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件得an+1=

9-2an

4-an

=2-

1

an-4

，由此能夠求出a₁，a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想an=

6n-5

2n-1

，然后用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．

解答：解：（1）由4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9得an+1=

9-2an

4-an

=2-

1

an-4

，
求得a2=

7

3

，a3=

13

5

，a4=

19

7

（3分）
（2）猜想an=

6n-5

2n-1

（5分）
證明：①當(dāng)n=1時，猜想成立．（6分）
②設(shè)當(dāng)n=k時（k∈N+）時，猜想成立，即ak=

6k-5

2k-1

，（7分）
則當(dāng)n=k+1時，有ak+1=2-

1

ak-4

=2-

1

6k-5 2k-1 -4

=

6k+1

2k+1

=

6(k+1)-5

2(k+1)-1

，
所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立（9分）
③綜合①②，猜想對任何n∈N+都成立．（10分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)學(xué)歸納法的證明過程．