Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，AE⊥PC，垂足為E．
（Ⅰ）求證：平面AEB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若二面角B-AE-D的大小為150°，求側棱PA的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB⊥AC，CD⊥AC，PA⊥CD，從而CD⊥平面PAC，進而CD⊥AE，AE⊥PC，由此能證明平面AEB⊥平面PCD．
（Ⅱ）以A為原點，以AB，AC，AP所在射線分別為x，y，z的正半軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出側棱PA的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵$AB=1，BC=\sqrt{2}，∠ABC={45°}$，∴AB⊥AC…（2分）
又∵AB∥CD，∴CD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵AC∩AP=A，∴CD⊥平面PAC，
∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE，…（4分）
又∵AE⊥PC，PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，
又∵AE?平面AEB，∴平面AEB⊥平面PCD．…（7分）
（Ⅱ）以A為原點，以AB，AC，AP所在射線分別為x，y，z的正半軸，建立空間直角坐標系．
設AP=t，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（-1，10），P（0，0，t），
∵AB⊥PC，AE⊥PC，
∴PC⊥平面ABE，∴平面ABE的一個法向量為$\overrightarrow n=\overrightarrow{PC}=（{0，1，-t}）$…（9分）
在RT_△PAC中，∵PA=t，AC=1∴$PC=\sqrt{1+{t^2}}$，
又AE⊥PC，$AE=\frac{t}{{\sqrt{1+{t^2}}}}$，得$E（{0，\frac{t^2}{{{t^2}+1}}，\frac{t}{{{t^2}+1}}}）$…（10分）
設平面ADE的一個法向量為$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AD}}\\{\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AE}}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{t^2}{{{t^2}+1}}•y+\frac{t}{{{t^2}+1}}•z=0}\\{-x+y=0}\end{array}}\right.$，解得$\overrightarrow m=（{1，1，-t}）$…（12分）
∵二面角B-AE-D的大小為150°，
∴$|{cos\left?{\left.{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞}\right.}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{|{{t^2}+1}|}}{{\sqrt{{t^2}+1}\sqrt{{t^2}+2}}}=|{cos{{150}°}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得$t=\sqrt{2}$，故側棱PA的長為$\sqrt{2}$．…（15分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查側棱長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．