【題目】對于函數(shù)f(x),若f(x0)=x0,則稱x0為f(x)的不動點.設(shè)f(x)=x3+ax2+bx+3.
(1)當a=0時,
(i)求f(x)的極值點;
(ⅱ)若存在x0既是f(x)的極值點,也是f(x)的不動點,求b的值;
(2)是否存在a,b,使得f(x)有兩個極值點,且這兩個極值點均為f(x)的不動點?說明理由.
【答案】(1)(i)是f(x)的極大值點,是f(x)的極小值點(ⅱ)b=﹣3(2)不存在滿足題設(shè)的a,b;詳見解析
【解析】
(1)(i)求出導(dǎo)數(shù),由的根確定函數(shù)的單調(diào)性,從而確定極值點.
(ⅱ)由和結(jié)合可解得;
(2)假設(shè)存在滿足題意,由函數(shù)的單調(diào)性和不動點定義可得矛盾,說明假設(shè)錯誤.
(1)當a=0時,f(x)=x3+bx+3,f′(x)=3x2+b,
(i)①當b≥0,f(x)在R單調(diào)遞增,無極值點,
②當b<0時,由f′(x)=0,得或,
當,f′(x)>0,故f(x)在,單調(diào)遞增,
當時,f′(x)<0,
在單調(diào)遞減,
所以,是f(x)的極大值點,是f(x)的極小值點.
(ⅱ)設(shè)x=x0是f(x)的極值點,則由(i)可知,
又x=x0是f(x)的不動點,則,
所以b=﹣3,
(2)不存在滿足題設(shè)的a,b,
證明如下:
假設(shè)存在滿足題設(shè)的a,b,設(shè)x1,x2為f(x)的兩個極值點,且為f(x)的不動點,并不妨設(shè)x1<x2,
由于f′(x)=3x2+2ax+b,
所以x1,x2為方程3x2+2ax+b=0的兩個根,
當x∈(x1,x2)時,f′(x)<0,可知f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞減,故f(x1)>f(x2),
又x1,x2為f(x)的不動點,所以f(x1)=x1<x2=f(x2),
即f(x1)<f(x2),矛盾,
所以不存在滿足題設(shè)的a,b.
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【題目】某市旅游管理部門為提升該市26個旅游景點的服務(wù)質(zhì)量,對該市26個旅游景點的交通、安全、環(huán)保、衛(wèi)生、管理五項指標進行評分.每項評分最低分0分,最高分100分.每個景點總分為這五項得分之和,根據(jù)考核評分結(jié)果,繪制交通得分與安全得分散點圖、交通得分與景點總分散點圖如圖
請根據(jù)圖中所提供的信息,完成下列問題:
(1)若從交通得分排名前5名的景點中任取1個,求其安全得分大于90分的概率;
(2)若從景點總分排名前6名的景點中任取3個,記安全得分不大于90分的景點個數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)記該市26個景點的交通平均得分為,安全平均得分為,寫出和的大小關(guān)系?(只寫出結(jié)果)
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【題目】已知函數(shù)
(1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,令,是否存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為,若存在,求實數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】10名象棋選手進行單循環(huán)賽(即每兩名選手比賽一場).規(guī)定兩人對局勝者得2分,平局各得1分,負者得0分,并按總得分由高到低進行排序.比賽結(jié)束后,10名選手的得分各不相同,且第二名的得分是最后五名選手得分之和的.則第二名選手的得分是____.
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【題目】鳳梨穗龍眼原產(chǎn)廈門,是廈門市的名果,栽培歷史已有100多年.龍眼干的級別按直徑的大小分為四個等級(如下表).
級別 | 三級品 | 二級品 | 一級品 | 特級品 |
某商家為了解某農(nóng)場一批龍眼干的質(zhì)量情況,隨機抽取了100個龍眼干作為樣本(直徑分布在區(qū)間),統(tǒng)計得到這些龍眼干的直徑的頻數(shù)分布表如下:
頻數(shù) | 1 | 29 | 7 |
用分層抽樣的方法從樣本的一級品和特級品中抽取6個,其中一級品有2個.
(1)求、的值,并估計這批龍眼干中特級品的比例;
(2)已知樣本中的100個龍眼干約500克,該農(nóng)場有500千克龍眼干待出售,商家提出兩種收購方案:
方案:以60元/千克收購;
方案:以級別分裝收購,每袋100個,特級品40元/袋、一級品30元/袋、二級品20元/袋、三級品10元/袋.
用樣本的頻率分布估計總體分布,哪個方案農(nóng)場的收益更高?并說明理由.
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【題目】已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC與BD相交于點O.將△ABD沿BD折起,使頂點A至點M,在折起的過程中,下列結(jié)論正確的是( )
A.BD⊥CM
B.存在一個位置,使△CDM為等邊三角形
C.DM與BC不可能垂直
D.直線DM與平面BCD所成的角的最大值為60°
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【題目】圓錐(其中為頂點,為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是,則圓錐與它外接球(即頂點在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為( )
A. B. C. D.
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