Question

已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝0，函數(shù)g(x)＝－＋mx＋1－2m，x∈[0，1]

(1)證明函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)．

(2)解關(guān)于x的不等式f(x)＜0．

(3)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求使得g(x)＜0，且f[g(x)]＜0恒成立的m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：任取，∈(－∞，0)，且＜， 　　則－，－∈(0，＋∞)且－＞－ 　　∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－)＝－f()，f(－)＝－f()① 　　又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)　∴f(－)＞f(－)② 　　由①②得－f()＞－f()，即f()＜f() 　　故函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù) 　　(2)∵奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù) 　　∴若x＞0，f(x)＜0，得f(x)＜f(1)，因而0＜x＜1 　　同理可求在x∈(－∞，0)上，若f(x)＜0，則x＜－1 　　綜上，使f(x)＜0的x的取值范圍是：(－∞，－1)∪(0，1) 　　(3)由(2)知，f[g(x)]＜0即g(x)＜－1或0＜g(x)＜1 　　∴依題得或　　得g(x)＜－1 　　因此，所求m范圍就是關(guān)于x的不等式g(x)＜－1，對(duì)任意x∈[0，1]恒成立時(shí)m的取值范圍．由g(x)＜－1，得＋mx＋1－2m＜－1， 　　即m＞＝(2＋x)－＝－[(2－x)＋]＋4 　　∵(2－x)＋≥　∴－[(2－x)＋]＋4≤4－ 　　當(dāng)且僅當(dāng)2－x＝，即x＝2－時(shí)，等號(hào)成立． 　　從而得出m＞4－2