Question

已知函數f（x）=mx²-mx-1．
（1）若對于x∈R，f（x）＜0恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）若f（x）＜0恒成立，則m=0或

m＜0 △=m2+4m＜0

，分別求出m的范圍后，綜合討論結果，可得答案．
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，則m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6＜0，x∈[1，3]恒成立，結合二次函數的圖象和性質分類討論，綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：（1）當m=0時，f（x）=-1＜0恒成立，
當m≠0時，若f（x）＜0恒成立，
則

m＜0 △=m2+4m＜0

解得-4＜m＜0
綜上所述m的取值范圍為（-4，0]----------------（4分）
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，
即m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=m（x-

1

2

）²+

3

4

m-6，x∈[1，3]------------------------------（6分）
當m＞0時，g（x）是增函數，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜

6

7

．
所以0＜m＜

6

7

當m=0時，-6＜0恒成立．
當m＜0時，g（x）是減函數．
所以g（x）_min=g（1）=m-6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
綜上所述，m＜

6

7

-----------------------------------------------------------（12分）

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數的最值，其中將恒成立問題轉化為最值問題是解答此類問題的關鍵．