Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）利用1）的結論求解不等式2|lnx|≤•|x-1|．并利用不等式結論比較ln²（1+x）與的大小．
（3）若不等式對任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer 1

解：（1），定義域x|x＞0

∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）對
當x≥1時，原不等式變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/138818.png' />
由（1）結論，x≥1時，f（x）≤f（1）=0，即成立
當0＜x≤1時，原不等式變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/138821.png' />，即
由（1）結論0＜x≤1時，f（x）≥f（1）=0，
綜上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0時，，即，
∴
用（其中x＞-1）代入上式中的x，可得
（3）結論：a的最大值為
∵n∈N^*，∴∵，∴
取，則x∈（0，1]，∴
設，
∵g（x）遞減，
∴x=1時
∴a的最大值為．
分析：先求函數(shù)的定義域
（1）對函數(shù)求導，利用導數(shù)在區(qū)間（0，+∞）的符號判斷函數(shù)的單調性．
（2）根據題目中式子的結構，結合（1）中單調性的結論可考慮討論①x≥1，f（x）≤f（1）=0②0＜x＜1，f（x）＞f（1）=0兩種情況對原不等式進行求解．
（3）若不等式對任意n∈N^*都成立?a≤恒成立構造函數(shù)g（x）=，利用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調性，從而求解函數(shù)的最小值，即可求解a的值
點評：本題主要考查了利用導數(shù)判斷對數(shù)函數(shù)的單調性，利用單調性解對數(shù)不等式，函數(shù)的恒成立問題的求解，綜合考查了函數(shù)的知識的運用，要求考生具備綜合解決問題的能力．