已知橢圓：，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)，為正三角形且周長(zhǎng)為6.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

【答案】

（1）， 離心率（2）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）解：由題設(shè)得           2分

解得： ，…… 3分

故的方程為. …… 5分   離心率      6分

（2）直線的方程為， 7分

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則

（聯(lián)立方程正確，可得分至8分）

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為        9分

∵，，…… 10分

的最小值為    11分

直線的方程為 即    12分

由，所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為   14分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是通過其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)以及直線于橢圓方程的聯(lián)立方程組來求解，屬于基礎(chǔ)題。

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年福建莆田一中高三上學(xué)期第一學(xué)段考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)，記直線的斜率分別為，當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年陜西省西安市高三第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)為，其上頂點(diǎn)為.已知是邊長(zhǎng)為的正三角形.

（1）求橢圓C的方程；  

(2) 過點(diǎn)任作一直線交橢圓C于兩

點(diǎn)，記若在線段上取一點(diǎn)使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在,請(qǐng)求出該定直線的方程，若不在,請(qǐng)說明理由.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分15分） 如圖，已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)為，其上頂點(diǎn)為.已知是邊長(zhǎng)為的正三角形.

（1）求橢圓C的方程；  

（2）過點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓C于兩

點(diǎn)，記若在線段上取一點(diǎn)使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在請(qǐng)求出該定直線，若不在請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分15分） 如圖，已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)為，其上頂點(diǎn)為.已知是邊長(zhǎng)為的正三角形.

（1）求橢圓C的方程；  

（2）過點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓C于兩

點(diǎn)，記若在線段上取一點(diǎn)使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在請(qǐng)求出該定直線，若不在請(qǐng)說明理由.

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