已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax2+4x．
（I）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為
π
4
，求實(shí)數(shù)a的值；
（II）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（I）根據(jù)切線的傾斜角為
π
4
得到切線的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知x=1處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，建立等量關(guān)系，求出a即可；
（II）根據(jù)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化成x2-2ax+4≥0對一切x∈[0，2]恒成立，將參數(shù)a分離，轉(zhuǎn)化成當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，等價(jià)于不等式a≤
x2+4
2x
恒成立，利用均值不等式求出不等式右邊函數(shù)的最小值，即可求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=
1
3
x3-ax2+4x
∴f'（x）=x2-2ax+4（2分）
∵f′(1)=12-2a+4=tan
π
4
（4分）
∴a=2（6分）
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增
∴x2-2ax+4≥0對一切x∈[0，2]恒成立
x=0時(shí)成立
當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，等價(jià)于不等式a≤
x2+4
2x
恒成立
令g(x)=
x2+4
2x
=
1
2
(x+
4
x
)≥
1
2
×2
x•
4
x
=2
當(dāng)x=
4
x
?x=2時(shí)取到等號，所以g（x）min=2
∴a≤2（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)題知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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