Question

若關(guān)于x的方程sin²x+asinx+4=0在區(qū)間[0，π]有兩個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、a＜-4或a＞4
• B、-5≤a≤-4
• C、a＜-5
• D、a≤-4

Answer 1

分析：利用換元法設(shè)t=sinx，則t∈[0，1]，將方程轉(zhuǎn)化為f（t）=t²+at+4=0在（0，1）上有唯一解，或t=0，然后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行討論即可得到結(jié)論．

解答：解：∵x∈[0，π]，故 sinx∈[0，1]，設(shè)t=sinx，則t∈[0，1]，
則方程sin²x+asinx+4=0等價為t²+at+4=0．
由于（0，1）內(nèi)的一個t值對應(yīng)了（0，π）內(nèi)的2個x值，
則由題意可得，關(guān)于t的方程f（t）=t²+at+4=0在（0，1）上有唯一解，或t=0．
①若t=0，則4=0不成立，∴此時無解．
②若對稱軸t=-

a

2

＜0．此時f（t）=t²+at+4在（0，1）上單調(diào)遞增，此時方程f（t）=t²+at+4=0在（0，1）無解．
③若對稱軸t=-

a

2

＞0，即a＜0時，此時要使方程f（t）=t²+at+4=0在（0，1）有唯一解，則滿足f（1）＜0，
即1+4+a=5+a＜0，解得 a＜-5．
④若△=0，則滿足

△=a2-16=0 0＜- a 2 ＜1

，即

a=4或a=-4 -2＜a＜0

，此時a無解，
綜上，可得實數(shù)a的取值范圍是a＜-5．
故選：C．

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．利用換元法將條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，注意要分類討論．