Question

已知球O與球P在棱長(zhǎng)為1正方體內(nèi)外切，球O與球P至少與正方體的三個(gè)面相切，且正方體的中心在線段OP上．
（1）求兩球的半徑之和；
（2）求兩球面積之和的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用球O與球P在棱長(zhǎng)為1正方體內(nèi)外切，球O與球P至少與正方體的三個(gè)面相切，可求兩球的半徑之和；
（2）表示出兩球面積之和，利用配方法，可求最大值和最小值．

解答：解：（1）設(shè)球O、球P的半徑分別是r₁、r₂．
∵( 

3

+1 ) r1+( 

3

+1 ) r2=( 

3

+1 ) ( r1+r2 )=

3

，
∴r₁+r₂=

3- 3

2

．
（2）記a=

3- 3

2

．
∴S=4 π ( 

r

2 1

+

r

2 2

 )=4 π ( 2 

r

2 1

-2 a r1+a2 )=8π[（r₁-

a

2

）²+

1

4

a²]，
∵

2- 3

2

≤r₁≤

1

2

，
∴當(dāng)r₁=

3- 3

4

時(shí)，Smin=3 ( 2-

3

 ) π；當(dāng)r₁=

2- 3

2

，或r₁=

1

2

時(shí)，Smax=4 ( 2-

3

 ) π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查配方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．