Question

（2012•藍山縣模擬）為了加快經濟的發(fā)展，某省選擇A、B兩城市作為龍頭帶動周邊城市的發(fā)展，決定在A、B兩城市的周邊修建城際輕軌，假設10km為一個單位距離，A、B兩城市相距8個單位距離，設城際輕軌所在的曲線為E，使輕軌E上的點到A、B兩市的距離之和為10個單位距離．
（1）建立直角坐標系，求城際輕軌所在曲線E的方程；
（2）若要在曲線E上建一個加油站M與一個收費站N，使M、N、B三點在一條直線上，并且AM+AN=12個單位距離，求M、N之間的距離有多少個單位距離？
（3）在A、B兩城市之間有一條與AB所在直線成45°的筆直公路l，直線l與曲線E交于P，Q兩點，求四邊形PAQB的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系．設曲線E上點P（x，y），由|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，能求出曲線E的方程．
（2）由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，知|MN|=8．
（3）將y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0．設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=

9t

17

，y₁y₂=

9t2-25×9

34

．由此能求出當t=0時，面積最大是

60

17

34

，此時直線為l：y=x．

解答：解：（1）以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系．
設曲線E上點P（x，y），
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8
∴動點軌跡為橢圓，
且a=5，c=4，從而b=3．
∴曲線E的方程為

x2

25

+

y2

9

=1．（4分）
（2）∵|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，
|AM|+|AN|=12，
所以|MN|=8．（8分）
（3）將y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，
得34y²-18ty+9t²-25×9=0．
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

9t

17

，y₁y₂=

9t2-25×9

34

．
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

17

50×9×17-9×25t2

，
S=S_△ABP+S_△ABQ=

1

2

AB•|y₁-y₂|=

8

34

50×9×17-9×25t2

，
所以當t=0時，面積最大是

60

17

34

，
此時直線為l：y=x．（13分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．解題時要認真審題，仔細解答．