已知函數(shù),滿足f′(0)=1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程在[0,2]恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【答案】分析:(1)對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)f'(0)=1求出m的值代入函數(shù)f(x),然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減求單調(diào)區(qū)間.
(2)將函數(shù)f(x)的解析式代入方程
然后組成函數(shù),根據(jù)單調(diào)性和極值點(diǎn)求解.
解答:解:(1),∵f′(0)=1,∴m=1.
,
(舍去).
當(dāng)時(shí),f'(x)>0
∴f(x)在上是增函數(shù);
當(dāng)時(shí),f'(x)<0
∴f(x)在上是減函數(shù).
(2)
,

設(shè),=
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),h'(x)>0,則h(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h'(x)<0,則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,則h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
而h(0)=-c,,h(2)=ln3-1-c
在[0,2]恰有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù),滿足f(2)=-2,
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)判斷y=f(x)在區(qū)間(-∞,m-1]上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=kx有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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C.
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