Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4，
（1）求異面直線EF與A₁D所成角的余弦值；
（2）證明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

Answer 1

（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB=1，依題意得D（0，2，0），
F（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0）．
（1）易得

EF

=（0，

1

2

，1），

A1D

=（0，2，-4）．
于是cos＜

EF

，

A1D

＞=

EF • A1D

| EF || A1D |

=-

3

5

．
所以異面直線EF與A₁D所成角的余弦值為

3

5

．
（2）證明：連接ED，易知

AF

=（1，2，1），

EA1

=（-1，-

3

2

，4），

ED

=（-1，

1

2

，0），
于是

AF

•

EA1

=0，

AF

•

ED

=0．
因此，AF⊥EA₁，AF⊥ED．
又EA₁∩ED=E，所以AF⊥平面A₁ED．
（3）設(shè)平面EFD的一個(gè)法向量為u=（x，y，z），則

u •  EF =0 u • ED =0

即

1 2 y+z=0 -x+ 1 2 y=0

不妨令x=1，可得u=（1，2，-1）．
由（2）可知，

AF

為平面A₁ED的一個(gè)法向量．
于是cos＜u，

AF

＞=

u • AF

| u || AF |

=

2

3

，從而sin＜u，

AF

＞=

5

3

．
二面角A₁-ED-F的正弦值是

5

3