Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x+θcosx+sinθ，x∈[-

2π

3

，

π

6

]，是否存在θ∈[-

π

2

，

π

2

]，使得f（x）的最小值是-

1

2

-cos（θ+

5π

2

），若存在，試求出θ，若不存在，說明理由．

Answer 1

設(shè)cosx=t則f（x）=y=t²+θt+sinθ，t∈[-

1

2

，1]
y=t²+θt+sinθ開口向上，對(duì)稱軸t=-

θ

2

，-

θ

2

∈[-

π

4

，

π

4

]
1當(dāng)-

θ

2

∈[-

1

2

，

π

4

]即-

π

2

≤θ≤1時(shí)
y_min=y（-

θ

2

）=

θ2

4

-

θ2

2

+sinθ=-

θ2

4

+sinθ
由-

θ2

4

+sinθ=-

1

2

-cos（θ+

5π

2

）=-

1

2

+sinθ?θ²=2?θ=±

2

又-

π

2

≤θ1∴此時(shí)θ=-

2

2當(dāng)-

θ

2

∈[-

π

4

，-

1

2

]，即1＜θ≤

π

2

時(shí)，
y關(guān)于t的函數(shù)在[-

1

2

，1]上是增函數(shù)
y_min=y（-

1

2

）=

1

4

-

1

2

θ+sinθ
-

π

8

，

π

8

，

3

8

π，

5

8

π，

7π

8

由

1

4

-

1

2

θ+sinθ=-

1

2

-cos（θ+

5

2

π）
?

1

2

θ=

3

4

?θ-

3

2

∈（1，

π

2

）合題意
∴存在θ=-

2

，或θ=

3

2

．