Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，焦點F在直線m：y=上，直線m與拋物線相交于A，B兩點，P為拋物線上一動點（不同于A，B），直線PA，PB分別交該拋物線的準線l于點M，N．
（1）求拋物線方程；
（2）求證：以MN為直徑的圓C經過焦點F，且當P為拋物線的頂點時，圓C與直線m相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可知焦點F的坐標，進而求得p，則拋物線的方程可得．
（2）把直線與拋物線方程聯立，求得交點A，B的坐標，設出點P的坐標，則直線AP的斜率可表示出來，根據點斜式表示直線AP的方程，把x=-1代入求得M的縱坐標，同理可表示出直線PB的方程把x=-1代入求得N的縱坐標，進而求得判斷出MF⊥NF，進而可知以MN為直徑的圓C經過焦點F．當P為拋物線的頂點時，t=0，可得MN中點，即圓心坐標，進而求得，進而可知CF⊥AB，推斷出圓C與直線m相切．
解答：解：（1）依題意，焦點F（1，0），拋物線方程為y²=4x．
（2）由得4x²-17x+4=0，x₁=4，，
∴．
設，則，
直線PA：，令x=-1，
得，即，
同理，直線PB：，令x=-1，得，
即，
∴，∴MF⊥NF，
∴以MN為直徑的圓C經過焦點F．
當P為拋物線的頂點時，t=0，可得MN中點，即圓心，，，
∴，即CF⊥AB，
∴圓C與直線m相切．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生運用數學知識分析問題和解決問題的能力．