Question

19．已知sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），則sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知求出cosθ，進一步得到sin2θ與cos2θ的值，展開兩角差的正弦得答案．

解答 解：∵sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$sin2θcos\frac{π}{4}-cos2θsin\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sin2θ-cos2θ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2sinθcosθ-1+2si{n}^{2}θ）$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2×\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}-1+2×\frac{1}{5}）$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應用，是基礎的計算題．