Question

若函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1在x=1處的切線的傾斜角為α，則

cos2α

sin2α-cos2α

的值是（　�。�

• A、

  8

  3

• B、

  8

  5

• C、-

  8

  7

• D、-

  8

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,三角函數(shù)的化簡求值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，求出切線的傾斜角的正切值，然后化簡表達(dá)式為正切函數(shù)的形式即可求解結(jié)果．

解答： 解：f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1，
∴函數(shù)f′（x）=x²-x+

1

3

．
∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1在x=1處的切線的傾斜角為α，
∴tanα=

1

3

．
∴

cos2α

sin2α-cos2α

=

1-tan2α

2tanα-1

=

1- 1 9

2× 1 3 -1

=-

8

3

．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程，考查二倍角的三角函數(shù)的化簡求值，學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．