Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數(shù)n，點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）的圖象上，且過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n；
（Ⅲ）設(shè)Q={x|x=k_n，n∈N*}，R={x|x=2a_n，n∈N*}，等差數(shù)列{c_n}的任一項c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小數(shù)，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，
∴．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3；
當(dāng)n≥2時，，
當(dāng)n=1時，也滿足．
故a_n=2n+1．
（Ⅱ）由f（x）=x²+2x求導(dǎo)可得，f′（x）=2x+2
∵過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n，∴k_n=2n+2．
又∵，
∴．
∴4（2n+1）•4ⁿ…①
由①×4可得：4（2n+1）•4ⁿ⁺¹…②
①-②可得：-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]
=-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]．
∴．
（Ⅲ）∵Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}
∴Q∩R=R，又∵c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小數(shù)，
∴c₁=6，∴c₁₀=4m+6，m∈N^*，（{c_n}的公差是4 的倍數(shù)!）
又∵110＜c₁₀＜115
∴解得m=27．
分析：（Ⅰ）根據(jù)點在函數(shù)圖象上，則點滿足函數(shù)解析式，得到S_n的表達式，進而求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據(jù)題中條件求出kn的表達式，結(jié)合（1）求得的數(shù)列{a_n}的通項公式，即可求得數(shù)列{b_n}的通項公式，進而可以利用錯位相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
（Ⅲ）由“Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}”求得交集，再由“c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小數(shù)”可求得c₁=6．最后由{c_n}是公差是4的倍數(shù)求得c₁₀=4m+6，則110＜c₁₀＜115求解即可．
點評：本題集函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式于一體，體現(xiàn)了知識間的交匯與融合，同時又考查了數(shù)列的基本解題方法，考查了學(xué)生分析問題和解決問題．強調(diào)在“知識的交匯處”命制試題，是近年高考命題的趨勢．