Question

給出以下命題：
①命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的否命題為“若x＜2且y＜3，則x+y＜5”；
②若直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點，則點（a，b）一定在圓x²+y²=4外；
③“?x∈R，使得ax²+（a-3）x+1≤0”是假命題，則1＜a＜9；
④某人向一個圓內(nèi)投鏢，則鏢扎到該圓的內(nèi)接正三角形區(qū)域內(nèi)的概率為．
其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)“p且q”的否定為“非p或非q”，可得命題①的正確與否；②因為直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點，計算出圓心到直線的距離并且與半徑比較大小，進而整理可得a²+b²＜4，所以點（a，b）一定在圓x²+y²=4內(nèi)； ③由題意可得不等式ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，即1＜a＜9；④設(shè)圓的半徑為r，內(nèi)接正三角形的邊長為a，則a=r，分別計算出三角形與圓的面積，再根據(jù)幾何概率模型可得④正確．
解答：解：對四個命題分別加以判別：
①命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的否命題為“若x＜2或y＜3，則x+y＜5”，故錯誤；
②因為直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點，所以圓心到直線的距離 ＞2=r，
整理可得a²+b²＜4，所以點（a，b）一定在圓x²+y²=4內(nèi)，所以②錯誤．
③因為不等式ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，
所以“?x∈R，使得ax²+（a-3）x+1≤0”是假命題，即1＜a＜9，所以③正確．
④設(shè)圓的半徑為r，內(nèi)接正三角形的邊長為a，則a=r，所以內(nèi)接正三角形的面積為 ，圓的面積為πr²，根據(jù)幾何概率模型可得所以鏢扎到該圓的內(nèi)接正三角形區(qū)域內(nèi)的概率為 ，所以④正確．
故答案為：③④．
點評：本題主要考查命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)知識，即解含絕對值的不等式，恒成立問題，存在性命題與幾何概率模型等知識點．